Λύθηκε η δομή Ε8,ένα απ'τα δυσκολότερα προβλήματα των Μαθημα

Post by **Ethel** » Mon Mar 19, 2007 3:54 pm

Έπειτα από υπολογισμούς τεσσάρων ετών, 18 κορυφαίοι Ευρωπαίοι και Αμερικανοί μαθηματικοί κατάφεραν να χαρτογραφήσουν τη λεγόμενη δομή Ε8 των αλγεβρικών ομάδων Λι, μια από τις μεγαλύτερες και περιπλοκότερες δομές των Μαθηματικών, ανακοίνωσε το Αμερικανικό Ινστιτούτο Μαθηματικών (ΑΙΜ) στο Πάλο Αλτο της Καλιφόρνια.

Αν και έχει περάσει πάνω από ένας αιώνας από την ανακάλυψη της Ε8 από τον Νορβηγό μαθηματικό Σόφους Λί, κανείς μέχρι σήμερα δεν περίμενε ότι η δομή θα γίνει ποτέ κατανοητή, δήλωσε ο Τζέφρι Ανταμς του Πανεπιστημίου του Μέριλαντ. επικεφαλής της προσπάθειας.

«Το κορυφαίο αυτό επίτευγμα είναι σημαντικό τόσο ως πρόοδος στη βασική γνώση όσο και ως κρίσιμη πρόοδος στη χρήση υπολογισμών μεγάλης κλίμακας για την επίλυση περίπλοκων μαθηματικών προβλημάτων», επισήμανε.

Η Ε8 είναι ένα παράδειγμα των αλγεβρικών ομάδων του Λι, που είχε διατυπώσει το 1887 ο Νορβηγός μαθηματικός Σόφους Λι για να μελετήσει θέματα συμμετρίας. Σύμφωνα με τη θεωρία, μια ομάδα Λι κρύβεται πίσω από κάθε συμμετρικό αντικείμενο, όπως οι σφαίρες, οι κύλινδροι και οι κώνοι. Τα αντικείμενα αυτά είναι τρισδιάστατα, ωστόσο η δομή Ε8 έχει 248 διαστάσεις.

Σύμφωνα με τον Χέρμαν Νικολάι, διευθυντή του Ινστιτούτου Αλμπερτ Αϊνστάιν στο Πότσνταμ της Γερμανίας, «η κατανόηση του Ε8 δεν συνιστά μόνο μια τεράστια πρόοδο στα μαθηματικά, αλλά μπορεί επίσης να βοηθήσει τους φυσικούς στην προσπάθεια διατύπωσης της ενοποιημένης θεωρίας», που αποτελεί και το «Αγιο Δισκοπότηρο» της Φυσικής.

Οι θεωρητικοί φυσικοί της θεωρίας των χορδών αναζητούν μια ενοποιημένη θεωρία για το Σύμπαν εξετάζοντας το E8XE8.

Η έκταση των υπολογισμών για την αποκωδικοποίηση του Ε8 μπορεί μάλιστα να συγκριθεί με τον προσδιορισμό της αλληλουχίας σε ολόκληρο το ανθρώπινο γονιδίωμα.

Το ανθρώπινο γονιδίωμα, που περιέχει όλη τη γενετική πληροφορία κάθε κυττάρου, έχει μέγεθος μικρότερο από 1 Gigabyte. Συγκριτικά. το αποτέλεσμα των υπολογισμών για την Ε8 φτάνει τα 60 Gigabyte.

Post by **The Punisher** » Mon Mar 19, 2007 4:03 pm

Το έχω δει από το πρωι, αλλά δεν κατάλαβα τίποτα

ορίστε και το κείμενο που διάβασα εγώ

Post by **Ethel** » Mon Mar 19, 2007 4:10 pm

http://en.wikipedia.org/wiki/E8_%28mathematics%29
http://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group

Post by **The Punisher** » Mon Mar 19, 2007 4:17 pm

Δυστυχώς ακόμη δεν έχω τις απαραίτητες γνώσει ούτε τοπολογίας ούτε θεωρίας ομάδων, για να καταλάβω τι είναι το Lie Group. Άρα δε μπορώ να καταλάβω και το Ε8

edit: επίσης το νέο και από το American Institute of Mathematics

lumenintervalum · Post by **lumenintervalum** » Mon Mar 19, 2007 4:56 pm

και όχι μόνο εσύ...

Post by **HdkiLLeR** » Tue Mar 20, 2007 12:43 pm

Αυτό που διάβασα και είναι καταπληκτικό είναι ο αποθηκευτικός χώρος για το αποτέλεσμα...

AnINffected · Post by **AnINffected** » Wed Mar 21, 2007 11:44 am

Μην στενοχωριέσαι Punisher!Είσαι νέος ακόμα.
Κάποιοι από εμάς μπορεί και να μην τα καταλάβουμε ποτέ (για εμένα, χωρίς να έχω διαβάσει ακόμη τα σχετικά, αυτό είναι σχεδόν σίγουρο).
Είμαι σίγουρος οτί εσύ, με το πάθος που σε διακρίνει για το άθλημα, θα τα κατακτήσεις αργά ή γρήγορα!

Εξ'άλλου, θα μπορούσες να ζητήσεις από κάποιον που ξέρει να στο εξηγήσει με απλά λόγια.
Μετά, με μία δεύτερη ανάγνωση, ίσως θα σου είναι πιο εύκολο να το καταλάβεις.

Πάντως ακούγεται σαν πάρα πολύ σημαντικό επίτευγμα...

Το οτί το ανθρώπινο γονιδίωμα είναι τόσο μικρότερο, οφείλεται όντως στην πολύ μεγαλύτερη πολυπλοκότητα του EB, ή στην πολύ καλύτερη κωδικοποίηση του DNA;

Post by **The Punisher** » Thu Mar 22, 2007 1:05 pm

Λοιπόν μετά από μια σχετική έρευνα, έχω κάνει κάποιες προόδους, και είμαι πρόθυμος να τις μοιραστώ μαζί σας.

Συμμετρίες
Στη φύση οι συμμετρίες είναι κάτι μαγικό. Υπάρχουν παντού, από τα πιο προφανή μέχρι τα πιο απόμακρα σημεία. Παράδειγμα συμμετρίας είναι ο κύκλος. Είναι συμμετρικός ως προς την περιστροφή. Αν τον περιστρέψουμε κατά φ° μοίρες βλέπεις πάλι τον κύκλο που έβλεπες αρχικά. Επιπλέον είναι συμμετρικός ως προς την ανάκλαση για προφανείς λόγους. Ένα άλλο παράδειγμα συμμετρίας είναι το εξάγωνο. Είναι συμμετρικό ως προς την περιστροφή κατά [tex]60*\phi ° [/tex] μοίρες.

Groups - Ομάδες
Οι Μαθηματικοί χρησιμοποίησαν την έννοια των group για να εκφράσουν αυτές τις συμμετρίες. Μια συλλογή από συμμετρίες σε κάποιο αντικείμενο ορίζει μια ομάδα, και κάθε ομάδα ορίζει μια συλλογή συμμετριών σε ένα αντικείμενο. Το Ε8 είναι ένα group που εκφράζει τις συμμετρίες ενός συγκεκριμένου 57-διάστατου αντικειμένο, και το ίδιο το Ε8 είναι 248 διαστάσεων. Το Ε8 είναι επίσης και ένα Lie Group (δείτε παρακάτω), που το κάνει να έχει μια όμορφη γεωμετρική αναπαράσταση

Η θεωρία Ομάδων έχει πολύ ευρύ πεδίο εφαρμογής. Για παράδειγμα χρησιμοποιείται για να προσδιοριστεί η δομή των κρυστάλλων και σχετίζεται άμεσα με τις ταλαντώσεις των μορίων. Οι περισσότερες "αρχές διατήρησης" στη Φυσική, όπως αρχή διατήρησης της Ενέργειας ή αρχή διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου, έχουν τη βάση τους στις συμμετρίες των εξισώσεων της Φυσικής. Πεισσότερα επί του θέματος θα βρείτε κοιτάζοντας το θεώρημα της Noether (ναι είναι γυναίκα). Μην παραλείψετε να ρίξετε και μια ματιά στην πολύ όμορφη απόδειξή του! Σαν παράδειγμα "συμμετρίας στις εξισώσεις" μπορείτε να σκεφτείτε το αν ο χρόνος αντριστρέφεται (όπου [tex]t[/tex] θέτω [tex]-t[/tex] ) ή αν αλλάζει η φάση (προσθέτω [tex]\phi°[/tex] στις εξισώσεις) και η εξίσωση παραμένει ίδια , τότε αυτό υποδηλώνει ότι κάτι διατηρείται!
Τέλος, μία άλλη ομάδα που χρησιμοποιείται ευρέως, από όλους μας, παρόλο που δεν της το αναγνωρίζουμε είναι το "multiplicative group modulo N", πάνω στο οποίο βασίζονται οι ασφαλείς επικοινωνίες πάνω από το Internet (αυτό το Modulo να το θυμάστε! όλο και κάπου θα το συναντήσετε ...)

Lie Group
Τα Lie Groups είναι το σημείο που συναντώνται 2 πολύ μεγάλοι κλάδοι των Μαθηματικών: η Γεωμετρία και η Άλγεβρα. Ένα Lie Group είναι καταρχάς Group (συλλογή στοιχείων στα οποία ορίζεται μία πράξη "πολλαπλασιασμοὐ", το γινόμενο ανάμεσα σε 2 στοιχεία της συλλογής αποτελεί και πάλι στοιχείο της συλλογής, υπάρχει η αντιμεταθετική ιδιότητα, υπάρχει ουδέτερο στοιχείο και τέλος υπάρχει αντίστροφο έτσι ώστε το γινόμενο του στοιχείου επί το αντίστροφό του να μας δίνει το ουδέτερο) και δευτερευόντως είναι ένα manifold(δε ξέρω την ελληνική ονομασία του όρου), δηλαδή είναι μια γεωμετρική δομή. Ο κύκλος και η σφαίρα είναι παραδείγματα manifolds.

Ένα Lie Group είναι ένα group συμμετριών που είναι συνεχείς, όπως δηλαδή στο παράδειγμα πιο πάνω με τον κύκλο. Το εξάγωνο όμως δεν θα αποτελούσε Lie Group, γιατί η συμμετρία του όριζε στροφή κατά κβαντισμένη γωνία.

Τα δομικά στοιχεία όλων των Lie Groups ονομάζονται simple Lie Groups και βασίζονται στις simple Lie άλγεβρες. Αυτές παράγουν τα παρακάτω :

τα simple An, Bn, Cn, and Dn (n=1,2,3....)
τα exceptional G2, F4, E6, E7, and E8.

Τα exceptional έχουν 14, 52, 78, 133 και 248 διαστάσεις αντίστοιχα.

Για κάθε group, ο δείκτης n ονομάζεται βαθμός του group και αποτελεί ένα μέτρο για το μέγεθος του group. Το Ε8 είναι το πιο περίπλοκο Lie Group. Παρόλο που το Α1000 είναι πιο μεγάλο από το Ε8, οι μαθητικοί ξέρουν πως να αναλύσουν τα An, για κάθε n, οπότε το ίδιο ισχύει και για το Α1000. Το ίδιο ισχύει για κάθε ένα από τα An, Bn, Cn, και Dn. Συνεπώς η πρόκληση είναι να αναλυθούν τα exceptional groups. Αυτά πρέπει να αντιμετωπιστούν ξεχωριστά, και το Ε8 είναι το πιο περίπλοκο απ' όλα.

Τα παραπάνω είναι μια μεταφορά από το AIMMath, αλλά με αρκετές προσθαφαιρέσεις από μεριάς μου. Ίσως ακολουθήσει περαιτέρω ανάλυση του E8.

Post by **Ethel** » Thu Mar 22, 2007 1:12 pm

Eίσαι φοβερός που κάθησες κ το ψαξες!
Τελικά σου αρέσουν πολύ τα μαθηματικά...

ailouros · Post by **ailouros** » Thu Mar 22, 2007 1:21 pm

Μπράβο Punisher!!!
Μπας και καταλάβουμε και εμείς τι είναι το Ε8 αν και μέχρι προχθές νόμιζα ότι είναι λεωφορείο..

Post by **The Punisher** » Mon Apr 16, 2007 7:26 pm

Έκανε ένα αφιέρωμα το ΒΗΜΑ επί του θέματος στην Κυριακάτικη. Δείτε το εδώ