Venus AUEB Forum

Παιδια ειναι μια ασκηση με την οποια ασχοληθηκα καποιο χρονικο διαστημα χωρις αποτελεσμα.Η ασκηση ειναι η εξης:Να δειξετε οτι το lim f(x) x->0 υπαρχει αν-ν ισχυει η εξης ιδιοτητα.Για οποιαδηποτε g(x),αν το lim g(x) x->0 δεν υπαρχει τοτε δεν υπαρχει και το lim f(x)+g(x) x->0.Αληθεια πως αποδεικνυεται?Με τον ορισμο?Αν γνωριζετε πειτε τη γνωμη σας.

Το όριο της f υπάρχει όταν f(x) τείνει σε πραγματικό αριθμό (i.e. όχι άπειρο) καθώς χ->σε κάτι.
Το lim f+g (x) x->0 χρειάζεται και τα 2 όρια να υπάρχουν ή να μην υπάρχουν για να υπάρξει.
Άρα αν υπάρχει το όριο της f (τείνει σε αριθμό) και όχι της g (τείνει σε άπειρο), το όριο και των 2 δεν μπορεί να υπάρξει (αριθμός + άπειρο = άπειρο).
Αν υπάρχει το όριο f+g (αριθμός) τότε αν δεν υπάρχει το όριο g (άπειρο), δεν υπάρχει και το όριο της f (πρέπει να τείνει προς το αντίθετο άπειρο ώστε f+g -> -άπειρο+άπειρο-> 0).
Δεν είναι ακριβής απόδειξη (χρειάζεται πιο αυστηρή 'παρουσίαση') αλλά νομίζω πως συνοψίζει την απάντηση.
Is this clear ?